Новости

  • Положительные стороны участия в школьных олимпиадах
    Облегчение поступления в университет. Вы можете задать своему ребенку конечную цель всего учебного процесса, тем самым убедив его в необходимости хорошей учебы. Часто родители говорят своим детям, что если они будут плохо учиться, то не смогут приобрести хорошую профессию в будущем, и пойдут в дворники.
  • Особенности питания школьника
    Питание в школе должно быть хорошо организованным. Школьник должен быть обеспечен в столовой обедом и горячим завтраком. Интервал между первым и вторым приемом пищи не должен превышать четыре часа. Наиболее оптимальным вариантом должен быть завтрак ребенка дома, в школе же он съедает второй завтрак
  • Детская агрессия в школе и сложности в процессе обучения
    Между детской агрессией и трудностями в процессе обучения установлена определенная взаимосвязь. Каждый школьник хочет иметь в школе много друзей, иметь хорошую успеваемость и хорошие оценки. Когда это у ребенка не получается, он делает агрессивные поступки. Каждое поведение на что-то нацелено, имеет смысловую
  • Советы психологов родителям
    В любых олимпиадах и всевозможных конкурсах ребенок, прежде всего, самовыражается и самореализовывается. Родители обязательно должны поддерживать своего ребенка, если он увлечен интеллектуальными соревнованиями. Ребенку важно осознавать себя частью общества интеллектуалов, в котором царят сопернические настроения, и ребенок сравнивает свои достигнутые
  • Ребенок отказывается от приема пищи в столовой школы
    Разборчивому ребенку школьная еда может прийтись не по вкусу. Зачастую, это самая распространенная причина отказа школьника от еды. Все происходит от того, что меню в школе не учитывает вкусовые потребности каждого отдельного ребенка. В школе никто не будет исключать какой-либо продукт из питания отдельного ребенка дабы
  • Как родители относятся к школе
    Для того чтобы понять как родители относятся к школе, то важно для начала охарактеризовать современных родителей, возрастная категория которых весьма разнообразна. Не смотря на это большую часть из них составляют родители, которые относятся к поколению девяностых годов, которые отличаются тяжелым временем для всего населения.
  • Школьная форма
    Первые школьные сборы навсегда остаются в памяти каждого из нас. Родители начинают закупать всю необходимую канцелярию, начиная с августа. Главным школьным атрибутом является форма школьника. Наряд должен быть тщательно подобран, чтобы первоклассник чувствовал себя уверенно. Введение школьной формы обосновывается многими причинами.

Рефераты

Уважаемые школьники и студенты! 

Уже сейчас на сайте вы можете воспользоваться более чем 20 000 рефератами, докладами, шпаргалками, курсовыми и дипломными работами.Присылайте нам свои новые работы и мы их обязательно опубликуем. Давайте продолжим создавать нашу коллекцию рефератов вместе!!!

Вы согласны передать свой реферат (диплом, курсовую работу и т.п.), а также дальнейшие права на хранение,  и распространение данного документа администрации сервера "mcvouo.ru"?

Спасибо за ваш вклад в коллекцию!

Всего 19436 рефератов.

Найти

Автоколебания системы с одной степенью свободы - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Автоколебания системы с одной степенью свободы
    Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметрm таким образом, чтобы при m= 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметрm, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки. Уравнение, которое нас будет интересовать:

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

Рассмотрим случай, когда mбесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

    Начальные условия выберем так:

F2 - степенной ряд по b1 b2, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при b1 b2, mполучим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

    Решая задачи Коши, получим:

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы

    Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.
    Тогда (6) запишется в виде:

Если в этой системе можно b1 b2 представить в виде функции m так, чтобы b1 b2, mисчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малыхm служит неравенство 0 Якобиана.

    В нашем случае:

Т. е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

    § 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) +x; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степениx и x'.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом. ; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m.

    будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим: Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степеняхm, получим

Для В'о и Воаналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

    (14)
    Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
    (15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a1, a2 - характеристические показатели. Если все , т. е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

    =0 (16) Полагаем ;
    Тогда определитель будет:

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a), или что все равно ч lч . Если ч lч < 1 имеет место устойчивость ч lч = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ч lч> 1 имеет место неустойчивость. При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае l-комплексные; Ѕl2 Ѕ=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость. Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12). (22)

    Если принять во внимание (15)
    (22a)
    (23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w№n; n 'Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

    В нашем случае b имеет вид:
    (23a)
    § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l=mlо; w2 = 1+ aо m, (24) (aо , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо № 0). Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

    (25)
    При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде: (27);

    Начальные условия возьмем как и раньше:

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты приb1 b2, mи других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

    (29)
    Запишем условия периодичности для (27):
    Делим на m:
    ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

    (31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определитьb1, b2, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда. (33)

    P, Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22) (34) , тогда D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

    (36)
    ;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо. Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

    ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малыхm) 1) p2 - q < 0

    2) p2 - q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D> 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее: (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

    (40)
    S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения .
    Далее, вводя обозначения:
    Получим дифференциальное уравнение для х:
    (41)
    А: (случай далекий от резонанса).
    Для него применяем результаты § 1, полагая.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т. е. wо > w1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0). (42).

Т. е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы. В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т. е. соотношение (31) для нашего случая.

    Или преобразовав их, получим следующее:

Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы jдля того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

    (46)

Т. е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая. 1)

    a0 - является общим корнем уравнений
    2)

Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = aо w2о(MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

    а) l2о << 1; Dw = wо Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

    Список литературы

Андронов А. А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. Андронов А. А. , Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля... Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

Скачен 637 раз.

Скачать