Новости

  • Положительные стороны участия в школьных олимпиадах
    Облегчение поступления в университет. Вы можете задать своему ребенку конечную цель всего учебного процесса, тем самым убедив его в необходимости хорошей учебы. Часто родители говорят своим детям, что если они будут плохо учиться, то не смогут приобрести хорошую профессию в будущем, и пойдут в дворники.
  • Особенности питания школьника
    Питание в школе должно быть хорошо организованным. Школьник должен быть обеспечен в столовой обедом и горячим завтраком. Интервал между первым и вторым приемом пищи не должен превышать четыре часа. Наиболее оптимальным вариантом должен быть завтрак ребенка дома, в школе же он съедает второй завтрак
  • Детская агрессия в школе и сложности в процессе обучения
    Между детской агрессией и трудностями в процессе обучения установлена определенная взаимосвязь. Каждый школьник хочет иметь в школе много друзей, иметь хорошую успеваемость и хорошие оценки. Когда это у ребенка не получается, он делает агрессивные поступки. Каждое поведение на что-то нацелено, имеет смысловую
  • Советы психологов родителям
    В любых олимпиадах и всевозможных конкурсах ребенок, прежде всего, самовыражается и самореализовывается. Родители обязательно должны поддерживать своего ребенка, если он увлечен интеллектуальными соревнованиями. Ребенку важно осознавать себя частью общества интеллектуалов, в котором царят сопернические настроения, и ребенок сравнивает свои достигнутые
  • Ребенок отказывается от приема пищи в столовой школы
    Разборчивому ребенку школьная еда может прийтись не по вкусу. Зачастую, это самая распространенная причина отказа школьника от еды. Все происходит от того, что меню в школе не учитывает вкусовые потребности каждого отдельного ребенка. В школе никто не будет исключать какой-либо продукт из питания отдельного ребенка дабы
  • Как родители относятся к школе
    Для того чтобы понять как родители относятся к школе, то важно для начала охарактеризовать современных родителей, возрастная категория которых весьма разнообразна. Не смотря на это большую часть из них составляют родители, которые относятся к поколению девяностых годов, которые отличаются тяжелым временем для всего населения.
  • Школьная форма
    Первые школьные сборы навсегда остаются в памяти каждого из нас. Родители начинают закупать всю необходимую канцелярию, начиная с августа. Главным школьным атрибутом является форма школьника. Наряд должен быть тщательно подобран, чтобы первоклассник чувствовал себя уверенно. Введение школьной формы обосновывается многими причинами.
ГлавнаяОбразованиеРефератыМатематикаДвойной интеграл в полярных...

Рефераты

Уважаемые школьники и студенты! 

Уже сейчас на сайте вы можете воспользоваться более чем 20 000 рефератами, докладами, шпаргалками, курсовыми и дипломными работами.Присылайте нам свои новые работы и мы их обязательно опубликуем. Давайте продолжим создавать нашу коллекцию рефератов вместе!!!

Вы согласны передать свой реферат (диплом, курсовую работу и т.п.), а также дальнейшие права на хранение,  и распространение данного документа администрации сервера "mcvouo.ru"?

Спасибо за ваш вклад в коллекцию!

Всего 19436 рефератов.

Найти

Двойной интеграл в полярных координатах - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения
    РЕФЕРАТ
    Выполнил студент
    группы 60-5ЭВТ
    Немцев Михаил
    Краснодар
    1998г.
    Двойной интеграл в полярных координатах
    Пусть в двойном интеграле
    (1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения:

    Drj = rj+1 - rj,
    Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениямиrjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

    И следовательно,
    f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

    (4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в областиS. С другой стороны, величины ji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскостиOjr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5)

    Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
    (6)
    Выражение
    dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координатыx и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрированияS определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем

    (8)
    Где
    F(r, j) = rf(r cosj, r sinj)
    Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как

    то применяя формулу (6),
    получим
    Область S определена
    Неравенствами
    Поэтому на основании формулы (8) имеем
    Пример 2.
    В интеграле
    (9)
    перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравнения

    этих прямых записываются
    следующим образом: j=0,
    j=p/4, r cosj=1 и,
    следовательно, область S
    определяется неравенствами
    Отсюда на основании формул
    (6) и(8), учитывая, что
    имеем

Скачен 392 раза.

Скачать