Новости

Заказ решебника

Закажи решебник и скоро он будет на сайте

  • Положительные стороны участия в школьных олимпиадах
    Облегчение поступления в университет. Вы можете задать своему ребенку конечную цель всего учебного процесса, тем самым убедив его в необходимости хорошей учебы. Часто родители говорят своим детям, что если они будут плохо учиться, то не смогут приобрести хорошую профессию в будущем, и пойдут в дворники.
  • Особенности питания школьника
    Питание в школе должно быть хорошо организованным. Школьник должен быть обеспечен в столовой обедом и горячим завтраком. Интервал между первым и вторым приемом пищи не должен превышать четыре часа. Наиболее оптимальным вариантом должен быть завтрак ребенка дома, в школе же он съедает второй завтрак
  • Детская агрессия в школе и сложности в процессе обучения
    Между детской агрессией и трудностями в процессе обучения установлена определенная взаимосвязь. Каждый школьник хочет иметь в школе много друзей, иметь хорошую успеваемость и хорошие оценки. Когда это у ребенка не получается, он делает агрессивные поступки. Каждое поведение на что-то нацелено, имеет смысловую
  • Советы психологов родителям
    В любых олимпиадах и всевозможных конкурсах ребенок, прежде всего, самовыражается и самореализовывается. Родители обязательно должны поддерживать своего ребенка, если он увлечен интеллектуальными соревнованиями. Ребенку важно осознавать себя частью общества интеллектуалов, в котором царят сопернические настроения, и ребенок сравнивает свои достигнутые
  • Ребенок отказывается от приема пищи в столовой школы
    Разборчивому ребенку школьная еда может прийтись не по вкусу. Зачастую, это самая распространенная причина отказа школьника от еды. Все происходит от того, что меню в школе не учитывает вкусовые потребности каждого отдельного ребенка. В школе никто не будет исключать какой-либо продукт из питания отдельного ребенка дабы
  • Как родители относятся к школе
    Для того чтобы понять как родители относятся к школе, то важно для начала охарактеризовать современных родителей, возрастная категория которых весьма разнообразна. Не смотря на это большую часть из них составляют родители, которые относятся к поколению девяностых годов, которые отличаются тяжелым временем для всего населения.
  • Школьная форма
    Первые школьные сборы навсегда остаются в памяти каждого из нас. Родители начинают закупать всю необходимую канцелярию, начиная с августа. Главным школьным атрибутом является форма школьника. Наряд должен быть тщательно подобран, чтобы первоклассник чувствовал себя уверенно. Введение школьной формы обосновывается многими причинами.
ГлавнаяОбразованиеРефератыМатематикаГруппы преобразований - (реферат)

Рефераты

Уважаемые школьники и студенты! 

Уже сейчас на сайте вы можете воспользоваться более чем 20 000 рефератами, докладами, шпаргалками, курсовыми и дипломными работами.Присылайте нам свои новые работы и мы их обязательно опубликуем. Давайте продолжим создавать нашу коллекцию рефератов вместе!!!

Вы согласны передать свой реферат (диплом, курсовую работу и т.п.), а также дальнейшие права на хранение,  и распространение данного документа администрации сервера "mcvouo.ru"?

Спасибо за ваш вклад в коллекцию!

Всего 19436 рефератов.

Найти

Группы преобразований - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Группы преобразований
    1. Перемещения

Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X® X f(P) = P называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(P, Q). Примеры.

1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол j вокруг точки О задается формулами R = R. Здесь R = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости. Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором v и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: R =Rcosj + (Rґv)sinj +v(1-cosj)(RЧv) . Все точки оси поворота являются неподвижными. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно, R = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет.

Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(j/2) x , то отражение задается формулой : R = R . Аналогично, если p некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p , проходящей через начало координат, то R = R - 2(RЧn)n . Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в . Композиция U*V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U*V)(P) = U(V(P)). Например, = * = I - тождественное перемещение.

    2. Связь с линейными операторами.
    Теорема 1

Пусть f: X ® X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = A и т. д. Если AB = CD (как свободные векторы), то AB = CD . Доказательство.

Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник ABDCявляется параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(A , O) + d(O, D) = d(A , D) , мы видим, что O лежит на отрезке AD и делит его пополам, поскольку d(A , O) = d(A , O) = 1/2 d(A , D) = 1/2 d(A , D) . Аналогично, O лежит на CD и делит его пополам. Следовательно, ABDC - параллелограмм. Из теоремы 1 следует, что если - пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ® X определено отображение: f*: V ® V. Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается изO переносом на вектор f*(OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f* и точкойO .

    Теорема 2.

Отображение f* является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение.

    Доказательство.

Свойство f*(u + v) = f*(u) +f*(v) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем: = -2+ = - 2+ =0. Следовательно, f*(lv) = lf*(v) , то есть отображение f* линейно. Следствие

Отображение евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение. Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства:

Матрица А невырождена, более того det(A) = 1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (-1) меняют ее на противоположную.

Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1. Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице:

    dimV
    det(A) = 1
    Название
    det(A) = -1
    Название
    1
    I = (1)
    Тождест-венный оператор
    s = (-1)
    Отраже-ние
    2
    =
    Поворот на угол j
    =
    Отраже-ние
    3
    =
    Поворот на угол j вокруг OZ
    =
    Зеркаль-ный пово-рот
    Замечание 1.

Учитывая связь между перемещением f и оператором f*, можно утверждать, что в подходящей декартовой системе координат имеет место формула: R = АR + v , где А - одна из матриц из таблицы, а v - некоторый вектор. Следовательно, всякое перемещение f имеет обратное , которое задается формулой R = (R - v ) = R - v. Поскольку матрица - ортогональна, обратное отображение также является перемещением. Отметим еще, что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектораw преобразование R = PR + w является перемещением. Замечание 2.

Имеется существенное различие между математическим понятием перемещения и физическим понятием движения. Во втором случае имеется в виду непрерывное во времени изменение положения точки, в то время как в первом фиксируются только ее начальное и конечное положения.

Перемещения с det(A) = 1 можно представлять себе и как движения, в то время как при det(A)= -1 такое представление невозможно, если оставаться в пределах исходного пространства X.

    Классификация перемещений.

Напомним, что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямойявляются тождественное преобразование I, перенос на вектор v и отражение относительно точки О . Для случая плоскости перемещениями будут уже упомянутые I и , а также поворот вокруг точки О на угол j и отражение относительно прямой l . Определим дополнительно скользящее отражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор vЅЅl . Наконец, для пространства мы имеем перемещения I и , а, кроме того поворот вокруг оси, заданной точкой О и единичным направляющим вектором w на угол j и отражение относительно плоскости p. Определим дополнительно зеркальный поворот как комбинацию отражения относительно плоскости, заданной точкой О и вектором нормалиn с поворотом и скользящее отражение - композицию отражения . относительно плоскости p и переноса на вектор vЅЅp. Наконец, определим винтовое перемещение как комбинацию поворота и параллельного переноса на вектор hw. Отметим, что некоторые из указанных выше перемещений являются частными случаями других. Например, тождественное перемещение можно рассматривать как перенос на нулевой вектор (или как поворот на нулевой угол), отражение является частным случаем скользящего отражения при v = 0 и т. д. Теорема 3 .

Каждое перемещение f в (n = 1, 2, 3 ) суть одно из следующих : n = 1 ,

    n = 2 , ,
    n = 3 , , .
    Доказательство.

Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет видR = АR + v , где v - некоторый вектор. Если изменить начало координат : R = r + u , R = r + u , получаем: r = Ar + v , где v = Au -u +v = (A - E)u + v. Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f*) , то можно выбратьu так, что в новой системе координат v = 0. (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при n=1 и при n=2 в случае det(A) = 1 (так как собственные значения суть exp(ij)№ 1 при j№2pn ). В случае матрицы можно добиться, чтобы v = , что приводит к скользящему отражению . Для матрицы при j№2pn получаем v = , и мы приходим к винтовому перемещению . (При j=2pn мы приходим к переносу). Наконец, для при j№2pn можно считать v = 0 , что приводит к зеркальному повороту , а при j=2pn - v = и получается скользящее отражение . Замечание. ( о параметрах перемещений)

Параметр для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod 2p т. е. = . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что = . В частности, = (отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично, = . Если при этом j=p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.

    4* Композиции 1.
    Теорема 4

Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f·g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений). Доказательство.

Используем координатную форму записи: f( R) = AR + v, g( R) = BR + w. Тогда: (f·g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w) = A( BR +w) +v = ( AB)R + ( Aw + v). Следовательно, (f·g)* = AB = f*g*. Следствие.

Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).

Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что · = , где v =2AB. Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот можно записать в виде: z ®z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения = + с, откуда = с/(1-). Таким образом, Отметим, что = при j+y№0 (mod 2p) . В то же время при j+y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = . Преобразование z®+c является скользящим отражением относительно прямой Im(= 0 на вектор 0, 5 (с + ). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент, то перемещение можно записать в виде

Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.

Скачен 544 раза.

Скачать