Новости

  • Положительные стороны участия в школьных олимпиадах
    Облегчение поступления в университет. Вы можете задать своему ребенку конечную цель всего учебного процесса, тем самым убедив его в необходимости хорошей учебы. Часто родители говорят своим детям, что если они будут плохо учиться, то не смогут приобрести хорошую профессию в будущем, и пойдут в дворники.
  • Особенности питания школьника
    Питание в школе должно быть хорошо организованным. Школьник должен быть обеспечен в столовой обедом и горячим завтраком. Интервал между первым и вторым приемом пищи не должен превышать четыре часа. Наиболее оптимальным вариантом должен быть завтрак ребенка дома, в школе же он съедает второй завтрак
  • Детская агрессия в школе и сложности в процессе обучения
    Между детской агрессией и трудностями в процессе обучения установлена определенная взаимосвязь. Каждый школьник хочет иметь в школе много друзей, иметь хорошую успеваемость и хорошие оценки. Когда это у ребенка не получается, он делает агрессивные поступки. Каждое поведение на что-то нацелено, имеет смысловую
  • Советы психологов родителям
    В любых олимпиадах и всевозможных конкурсах ребенок, прежде всего, самовыражается и самореализовывается. Родители обязательно должны поддерживать своего ребенка, если он увлечен интеллектуальными соревнованиями. Ребенку важно осознавать себя частью общества интеллектуалов, в котором царят сопернические настроения, и ребенок сравнивает свои достигнутые
  • Ребенок отказывается от приема пищи в столовой школы
    Разборчивому ребенку школьная еда может прийтись не по вкусу. Зачастую, это самая распространенная причина отказа школьника от еды. Все происходит от того, что меню в школе не учитывает вкусовые потребности каждого отдельного ребенка. В школе никто не будет исключать какой-либо продукт из питания отдельного ребенка дабы
  • Как родители относятся к школе
    Для того чтобы понять как родители относятся к школе, то важно для начала охарактеризовать современных родителей, возрастная категория которых весьма разнообразна. Не смотря на это большую часть из них составляют родители, которые относятся к поколению девяностых годов, которые отличаются тяжелым временем для всего населения.
  • Школьная форма
    Первые школьные сборы навсегда остаются в памяти каждого из нас. Родители начинают закупать всю необходимую канцелярию, начиная с августа. Главным школьным атрибутом является форма школьника. Наряд должен быть тщательно подобран, чтобы первоклассник чувствовал себя уверенно. Введение школьной формы обосновывается многими причинами.
ГлавнаяОбразованиеРефератыМатематикаГеометрия Лобачевского - (реферат)

Рефераты

Уважаемые школьники и студенты! 

Уже сейчас на сайте вы можете воспользоваться более чем 20 000 рефератами, докладами, шпаргалками, курсовыми и дипломными работами.Присылайте нам свои новые работы и мы их обязательно опубликуем. Давайте продолжим создавать нашу коллекцию рефератов вместе!!!

Вы согласны передать свой реферат (диплом, курсовую работу и т.п.), а также дальнейшие права на хранение,  и распространение данного документа администрации сервера "mcvouo.ru"?

Спасибо за ваш вклад в коллекцию!

Всего 19436 рефератов.

Найти

Геометрия Лобачевского - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Геометрия Лобачевского

Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.

Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае – Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности. Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.

Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам. Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой. Сумма двух смежных углов равна 2d.

    Все прямые углы равны между собой.
    Вертикальные углы равны.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.

Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.

Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

    Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
    Три признака равенства треугольников.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.

    Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.

Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.

Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра). Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.

Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.

    В треугольник можно вписать единственную окружность.
    Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.

Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно. Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.

Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ–ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч l, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч l принадлежит либо первому, либо второму классу. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.

Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (т. е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.

Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой.

Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.

Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных угловa и b, образованных прямыми b и c также не пересекают а, а таких прямых бесконечное множество. Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского. Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского.

Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол a, образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: a=П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’. Все прямые пучка не пересекающие BB’и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельностиa .

Наконец , все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельностиa , называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ . Необходимо обратить внимание , что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке , ибо у нас пока нет уверенности в том , что если мы на прямой CC’возьмём какую-нибудь точку М , отличную от А , то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.

Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если , во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во-вторых , C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB.

Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’ кк B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Теорема1. Если прямая ВВ’ккАА' в точке М, то ВВ'ккАА' в любой своей точке N.

    Теорема 2. Если ВВ'ккАА', то и обратно: АА'ккВВ'.
    Теорема 3. Если АА'ккСС' и ВВ'ккСС', то АА'ккВВ'.

Теорема 4. Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении. Теорема 5. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.

Задача 902. (Сборник задач - Атанасян, ч. 2) Пусть (U1V1) кк(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.

Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1 , пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1. 18). В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E , проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 кк UV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U1V1 ккUV. Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.

Скачен 1291 раз.

Скачать